Практичні задачі до окремих тем

1.     Відсотки. Задачі економічного змісту

Задача 1. Від тривалого зберігання ячмінь втрачає за перший рік 3% своєї маси, а за кожний наступний по 1%. Скільки залишиться від 100 ц ячменю через 4 роки?

Розв’язання

100 ∙ 0,03 = 3 (ц) – втрати ячменю за перший рік зберігання.

100 – 3 = 97 (ц) – маса ячменю після першого року зберігання.

Використаємо формулу складних відсотків.

де р = 1%, n = 3, А₀ = 97 ц.

Оскільки ячмінь втрачає у масі, то у формулі знак «-».

Отже, через 4 роки від 100 ц ячменю залишиться 94 ц.

Відповідь: 94 ц.

               Задача 2. У результаті заміни старого верстата на новий продуктивність праці зросла на 25%. На скільки відсотків зменшився час виготовлення однієї і тієї самої деталі?

Розв’язання

            Для виготовлення деталі потрібно виконати деяку роботу, приймемо її за 1. Нехай на старому верстаті деталь виготовляли за t год, а на новому – за T год, звідси продуктивність старого верстата , а нового - . За умовою , звідси t = 1,25Т.

            Обчислимо відсоткове відношення Т до t:

Отже, час виготовлення однієї деталі зменшився на 100% - 80% = 20%.

Відповідь: 20%.

            Задача 3. Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще на 15% і, остаточно, після перерахунку ціну знизили ще на 10%. На скільки відсотків всього знизили початкову ціну товару?

Розв’язання

            Нехай х гр. од. – початкова ціна товару, тоді 0,2х гр. од. – перше зниження;

х – 0,2х = 0,08х – ціна після першого зниження.

0,15 ∙ 0,8х = 0,12х – друге зниження;

0,8х – 0,12х = 0,68х – ціна після другого зниження.

0,1∙ 0,68х = 0,068х – третє зниження (остаточне);

0,68х – 0,068х = 0,612х – ціна після третього зниження.

            Знайдемо різницю між початковою ціною та ціною після останнього зниження:

х – 0,612х = 0,388х.

Отже, початкову ціну знизили на 38,8%.

Відповідь: На 38,8%.

2. Відсотки в банківській сфері                                           

            Задача 1. В ощадний банк поклали 9000 грн. Через рік сума вкладу дорівнювала 9945 грн. Під який відсоток покладено вклад?

Розв’язання

9945 – 9000 = 945 (грн.) – зміна вкладу.

Знайдемо відсоткове відношення зміни вкладу до початкової суми через рік:

945 : 9000 ∙ 100% = 10,5%.

Відповідь: Вклад поклали під 10,5% річних.

3. Задачі на суміші та розчини

Задача 1. У лабораторії є суміш, загальна маса якої на 3,3 кг більша від маси титану, що міститься у ній. Якщо добавити до неї 2 кг суміші з 25% вмісту титану, одержимо суміш, у якій 20% титану. Визначити початкову масу суміші і відсоток титану в ній.

Розв’язання

Нехай m кг – початкова маса суміші, х% - вміст у ній титану.

Тоді 0,01хm кг – маса титану в суміші.

У 2 кг нової суміші маса титану дорівнює

2 ∙ 0,25 = 0,5 (кг).

Загальна маса титану при змішуванні сумішей становитиме (0,01mх + 0,5) кг, а загальна маса змішаних сумішей (m + 2) кг.

Складаємо систему рівнянь:

 

Розв’язавши систему, знаходимо

m = 4,  

Відповідь: 4 кг, 17,5%.

Задача 2. У лабораторії є два ящики порошку. Порошок в одному ящику містить 20% заліза, у другому – 12%. Скільки потрібно взяти порошку з кожного ящика, щоб отримати 3,2 кг порошку, що містить 15% заліза?

Задача 3. Є сплави двох сортів із вмістом нікелю 65% і 40%. Скільки слід взяти кожного з цих сплавів, щоб отримати 140 кг сплаву з вмістом нікелю 50%?

Розв’язання

Визначимо вміст нікелю у сплаві масою 140 кг, тобто знайдемо 50% від 140 кг, це 70 кг.

Нехай маса сплаву із вмістом нікелю 65% становить х кг, тоді 0,65х кг – вміст нікелю у ньому.

(140 – х) кг – маса сплаву із вмістом нікелю 40%, тоді

0,4 (140 – х) кг – вміст нікелю в ньому.

Маса нікелю під час переплавлювання сплавів не змінилася, тому одержуємо рівняння:

 

Отже, 56 кг – маса сплаву із вмістом нікелю 65%.

140 – 56 = 84 (кг) – маса сплаву із вмістом нікелю 40%.

Відповідь: 56 кг, 84 кг.

Задача 4. Обчислити масу і пробу сплаву срібла з міддю, знаючи, що при сплавленні його з 3 кг чистого срібла можна одержати сплав 900-ї проби, а при сплавленні його з 2 кг сплаву 900-ї проби – сплав 840-ї проби.

Задача 5. Сплав міді та цинку масою 36 кг містить 45% міді. Яку масу міді потрібно добавити до нього, щоб новий сплав містив 60% міді?

4. Задачі на концентрацію розчинів

Задача 1. До розчину, що містить 40 кг солі, додали 200 кг води, після чого його концентрація зменшилася на 10%. Скільки води містив початковий розчин і яка була концентрація?

Розв’язання

Нехай х кг води містить початковий розчин, тоді відсотковий вміст солі (концентрація) у ньому становить  

40 + х + 200 = (240 + х) кг – маса нового розчину, а  - його концентрація, яка за умовою задачі менша на 10% від концентрації початкового розчину. Отже, маємо рівняння:

 де х > 0.

, що не задовольняє умову,

            Отже, початковий розчин містить 160 кг води.

            Знайдемо його концентрацію:

Відповідь: 160 кг, 20%.

               Задача 2. Є 9 л 48-відсоткового розчину спирту і 1 л 20-відсоткового розчину. Якої концентрації буде суміш із цих розчинів?

               Задача 3. Хлоридну кислоту 30-відсоткової концентрації змішали з хлоридною кислотою 10-відсоткової концентрації, у результаті одержали 600 г розчину 15-відсоткової концентрації. Скільки грамів кожного розчину було взято?

5. Прогресії. Математика і біологія

7. Використання поняття площі в аграрному секторі

Задача 1. Поле має форму паралелограма зі стороною 250 м і висотою, проведеною до цієї сторони, 100 м. Через поле перпендикулярно до його краю проходить путівець шириною 5 м. Яку площу можна засіяти?

            Задача 2. На луці трикутної форми треба провести межу, щоб дістати дві частини з рівними площами. Як це зробити за допомогою віх і польового циркуля?

            Задача 3. Ділянка має форму прямокутної трапеції. Як провести перпендикулярну пряму до її основ, щоб розділити площу ділянки навпіл?

8. Задачі на рух. Рух за течією та проти течії

1. У тютюновому димі однієї сигарети міститься багато отруйних речовин, що руйнують організм людини. Визначте процентний вміст самих отруйних речовин - тютюнового дьогтю, окису вуглецю, полонію, в одній сигареті, якщо нікотину 2%; тютюнового дьогтю в 7,5 разів більше, ніж нікотину; окис вуглецю становить 3/5 від кількості тютюнового дьогтю; полоній становить 2 / 3 від кількості окису вуглецю. 

2. Визначте, скільки курящих дітей в школі, в якій навчається 500 хлопчиків і 600 дівчаток, якщо за статистикою курців хлопчиків - 60%, палять дівчаток - 40%. 

3. Палять діти скорочують собі життя на 15%. Визначте, яка тривалість життя нинішніх кращих дітей, якщо середня тривалість життя в Білорусії 67 років? 

4. При перевірці стану здоров'я групи учнів школи, яка складається з 20 осіб зі стажем куріння 3-5 років виявлено, що 70% з них має по 2 захворювання (органів дихання і травлення). Решта по одному захворюванню. Визначте, скільки учнів цієї групи мають по 2 і скільки по одному захворюванню? 

5. Середня вага новонародженої дитини 3 кг 300гр. Якщо у дитини курящий батько, то його вага буде менше середнього на 125 гр; якщо куряща мати - менше на 300 гр. Визначте, скільки відсотків втрачає у вазі новонароджений, якщо: а) курить папа, б) курить мама (відповідь округлятимете до одиниць) 

6. Весь світ бореться з тютюном. У багатьох країнах заборонено куріння на робочому місці. Серйозний роботодавець може не прийняти на роботу, або звільнити кращого. Причину цього може пояснити такий приклад: якщо хороший секретар-машиніст палить, то на сторінках друкованого тексту в 800 знаків у неї буде 4% помилок. Скільки помилок буде у нього на сторінках, де знаків в 1,5 рази більше? 

 

1.     Відсотки. Задачі економічного змісту

Задача 1. Від тривалого зберігання ячмінь втрачає за перший рік 3% своєї маси, а за кожний наступний по 1%. Скільки залишиться від 100 ц ячменю через 4 роки?

Розв’язання

100 ∙ 0,03 = 3 (ц) – втрати ячменю за перший рік зберігання.

100 – 3 = 97 (ц) – маса ячменю після першого року зберігання.

Використаємо формулу складних відсотків.

де р = 1%, n = 3, А₀ = 97 ц.

Оскільки ячмінь втрачає у масі, то у формулі знак «-».

Отже, через 4 роки від 100 ц ячменю залишиться 94 ц.

Відповідь: 94 ц.

               Задача 2. У результаті заміни старого верстата на новий продуктивність праці зросла на 25%. На скільки відсотків зменшився час виготовлення однієї і тієї самої деталі?

Розв’язання

            Для виготовлення деталі потрібно виконати деяку роботу, приймемо її за 1. Нехай на старому верстаті деталь виготовляли за t год, а на новому – за T год, звідси продуктивність старого верстата , а нового - . За умовою , звідси t = 1,25Т.

            Обчислимо відсоткове відношення Т до t:

Отже, час виготовлення однієї деталі зменшився на 100% - 80% = 20%.

Відповідь: 20%.

            Задача 3. Ціну товару спочатку знизили на 20%, потім нову ціну знизили ще на 15% і, остаточно, після перерахунку ціну знизили ще на 10%. На скільки відсотків всього знизили початкову ціну товару?

Розв’язання

            Нехай х гр. од. – початкова ціна товару, тоді 0,2х гр. од. – перше зниження;

х – 0,2х = 0,08х – ціна після першого зниження.

0,15 ∙ 0,8х = 0,12х – друге зниження;

0,8х – 0,12х = 0,68х – ціна після другого зниження.

0,1∙ 0,68х = 0,068х – третє зниження (остаточне);

0,68х – 0,068х = 0,612х – ціна після третього зниження.

            Знайдемо різницю між початковою ціною та ціною після останнього зниження:

х – 0,612х = 0,388х.

Отже, початкову ціну знизили на 38,8%.

Відповідь: На 38,8%.

2. Відсотки в банківській сфері                                           

            Задача 1. В ощадний банк поклали 9000 грн. Через рік сума вкладу дорівнювала 9945 грн. Під який відсоток покладено вклад?

Розв’язання

9945 – 9000 = 945 (грн.) – зміна вкладу.

Знайдемо відсоткове відношення зміни вкладу до початкової суми через рік:

945 : 9000 ∙ 100% = 10,5%.

Відповідь: Вклад поклали під 10,5% річних.

3. Задачі на суміші та розчини

Задача 1. У лабораторії є суміш, загальна маса якої на 3,3 кг більша від маси титану, що міститься у ній. Якщо добавити до неї 2 кг суміші з 25% вмісту титану, одержимо суміш, у якій 20% титану. Визначити початкову масу суміші і відсоток титану в ній.

Розв’язання

Нехай m кг – початкова маса суміші, х% - вміст у ній титану.

Тоді 0,01хm кг – маса титану в суміші.

У 2 кг нової суміші маса титану дорівнює

2 ∙ 0,25 = 0,5 (кг).

Загальна маса титану при змішуванні сумішей становитиме (0,01mх + 0,5) кг, а загальна маса змішаних сумішей (m + 2) кг.

Складаємо систему рівнянь:

 

Розв’язавши систему, знаходимо

m = 4,  

Відповідь: 4 кг, 17,5%.

Задача 2. У лабораторії є два ящики порошку. Порошок в одному ящику містить 20% заліза, у другому – 12%. Скільки потрібно взяти порошку з кожного ящика, щоб отримати 3,2 кг порошку, що містить 15% заліза?

Задача 3. Є сплави двох сортів із вмістом нікелю 65% і 40%. Скільки слід взяти кожного з цих сплавів, щоб отримати 140 кг сплаву з вмістом нікелю 50%?

Розв’язання

Визначимо вміст нікелю у сплаві масою 140 кг, тобто знайдемо 50% від 140 кг, це 70 кг.

Нехай маса сплаву із вмістом нікелю 65% становить х кг, тоді 0,65х кг – вміст нікелю у ньому.

(140 – х) кг – маса сплаву із вмістом нікелю 40%, тоді

0,4 (140 – х) кг – вміст нікелю в ньому.

Маса нікелю під час переплавлювання сплавів не змінилася, тому одержуємо рівняння:

 

Отже, 56 кг – маса сплаву із вмістом нікелю 65%.

140 – 56 = 84 (кг) – маса сплаву із вмістом нікелю 40%.

Відповідь: 56 кг, 84 кг.

Задача 4. Обчислити масу і пробу сплаву срібла з міддю, знаючи, що при сплавленні його з 3 кг чистого срібла можна одержати сплав 900-ї проби, а при сплавленні його з 2 кг сплаву 900-ї проби – сплав 840-ї проби.

Задача 5. Сплав міді та цинку масою 36 кг містить 45% міді. Яку масу міді потрібно добавити до нього, щоб новий сплав містив 60% міді?

4. Задачі на концентрацію розчинів

Задача 1. До розчину, що містить 40 кг солі, додали 200 кг води, після чого його концентрація зменшилася на 10%. Скільки води містив початковий розчин і яка була концентрація?

Розв’язання

Нехай х кг води містить початковий розчин, тоді відсотковий вміст солі (концентрація) у ньому становить  

40 + х + 200 = (240 + х) кг – маса нового розчину, а  - його концентрація, яка за умовою задачі менша на 10% від концентрації початкового розчину. Отже, маємо рівняння:

 де х > 0.

, що не задовольняє умову,

            Отже, початковий розчин містить 160 кг води.

            Знайдемо його концентрацію:

Відповідь: 160 кг, 20%.

               Задача 2. Є 9 л 48-відсоткового розчину спирту і 1 л 20-відсоткового розчину. Якої концентрації буде суміш із цих розчинів?

               Задача 3. Хлоридну кислоту 30-відсоткової концентрації змішали з хлоридною кислотою 10-відсоткової концентрації, у результаті одержали 600 г розчину 15-відсоткової концентрації. Скільки грамів кожного розчину було взято?

 Прогресії. Математика і біологія

7. Використання поняття площі в аграрному секторі

Задача 1. Поле має форму паралелограма зі стороною 250 м і висотою, проведеною до цієї сторони, 100 м. Через поле перпендикулярно до його краю проходить путівець шириною 5 м. Яку площу можна засіяти?

            Задача 2. На луці трикутної форми треба провести межу, щоб дістати дві частини з рівними площами. Як це зробити за допомогою віх і польового циркуля?

            Задача 3. Ділянка має форму прямокутної трапеції. Як провести перпендикулярну пряму до її основ, щоб розділити площу ділянки навпіл?

 Задачі на рух. Рух за течією та проти течії

1. У тютюновому димі однієї сигарети міститься багато отруйних речовин, що руйнують організм людини. Визначте процентний вміст самих отруйних речовин - тютюнового дьогтю, окису вуглецю, полонію, в одній сигареті, якщо нікотину 2%; тютюнового дьогтю в 7,5 разів більше, ніж нікотину; окис вуглецю становить 3/5 від кількості тютюнового дьогтю; полоній становить 2 / 3 від кількості окису вуглецю. 

2. Визначте, скільки курящих дітей в школі, в якій навчається 500 хлопчиків і 600 дівчаток, якщо за статистикою курців хлопчиків - 60%, палять дівчаток - 40%. 

3. Палять діти скорочують собі життя на 15%. Визначте, яка тривалість життя нинішніх кращих дітей, якщо середня тривалість життя в Білорусії 67 років? 

4. При перевірці стану здоров'я групи учнів школи, яка складається з 20 осіб зі стажем куріння 3-5 років виявлено, що 70% з них має по 2 захворювання (органів дихання і травлення). Решта по одному захворюванню. Визначте, скільки учнів цієї групи мають по 2 і скільки по одному захворюванню? 

5. Середня вага новонародженої дитини 3 кг 300гр. Якщо у дитини курящий батько, то його вага буде менше середнього на 125 гр; якщо куряща мати - менше на 300 гр. Визначте, скільки відсотків втрачає у вазі новонароджений, якщо: а) курить папа, б) курить мама (відповідь округлятимете до одиниць) 

6. Весь світ бореться з тютюном. У багатьох країнах заборонено куріння на робочому місці. Серйозний роботодавець може не прийняти на роботу, або звільнити кращого. Причину цього може пояснити такий приклад: якщо хороший секретар-машиніст палить, то на сторінках друкованого тексту в 800 знаків у неї буде 4% помилок. Скільки помилок буде у нього на сторінках, де знаків в 1,5 рази більше?